不良品ができる確率が0.02である製品を2500個作ったとき、不良品が30個以下である確率を求める。また、不良品が約何個以下であると90%の確率でいえるかを求める。

1. 問題の内容

不良品ができる確率が0.02である製品を2500個作ったとき、不良品が30個以下である確率を求める。また、不良品が約何個以下であると90%の確率でいえるかを求める。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布を正規分布で近似して解く。

まず、不良品の個数を確率変数 $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(2500, 0.02)$ に従う。

二項分布の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は以下の通りである。

$E(X) = np = 2500 \times 0.02 = 50$

$V(X) = np(1-p) = 2500 \times 0.02 \times (1-0.02) = 2500 \times 0.02 \times 0.98 = 49$

標準偏差 $\sigma$ は $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{49} = 7$ である。

二項分布を正規分布で近似するため、連続性の補正を行う。

$P(X \leq 30)$ を正規分布で近似する際は、$P(X \leq 30.5)$ と考える。

標準化変数 $Z$ は、

$Z = \frac{X - E(X)}{\sigma}$

である。

$Z = \frac{30.5 - 50}{7} = \frac{-19.5}{7} \approx -2.786$

$P(X \leq 30.5) = P(Z \leq -2.786)$

標準正規分布表から、$P(Z \leq -2.79) \approx 0.0026$ である。

次に、不良品が約何個以下であると90%の確率でいえるかを求める。

$P(X \leq k) = 0.9$ となる $k$ を求める。

$Z = \frac{k - 50}{7}$

標準正規分布表から、$P(Z \leq 1.28) \approx 0.9$ なので、

$\frac{k - 50}{7} = 1.28$

$k - 50 = 7 \times 1.28 = 8.96$

$k = 50 + 8.96 = 58.96$

したがって、不良品が58個以下であると約90%の確率でいえる。

3. 最終的な答え

不良品が30個以下である確率は約0.0026である。

不良品が約58個以下であると90%の確率でいえる。