16本のくじの中に当たりくじが2本ある。この中から3本のくじを同時に引くとき、以下の確率を求めよ。 (1) 2本がはずれ、1本が当たる確率 (2) 少なくとも1本が当たる確率

1. 問題の内容

16本のくじの中に当たりくじが2本ある。この中から3本のくじを同時に引くとき、以下の確率を求めよ。

(1) 2本がはずれ、1本が当たる確率

(2) 少なくとも1本が当たる確率

2. 解き方の手順

(1) 2本がはずれ、1本が当たる確率を求める。

まず、3本のくじの引き方の総数を求める。これは16本から3本を選ぶ組み合わせなので、

$_{16}C_3$で計算できる。

$_{16}C_3 = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$

次に、当たりくじ1本、はずれくじ2本を引く場合の数を求める。

当たりくじ2本から1本を選ぶ組み合わせは $_2C_1 = 2$通り。

はずれくじ14本から2本を選ぶ組み合わせは $_{14}C_2 = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 7 \times 13 = 91$通り。

したがって、当たりくじ1本、はずれくじ2本を引く場合の数は $2 \times 91 = 182$通り。

よって、求める確率は $\frac{182}{560} = \frac{91}{280} = \frac{13}{40}$。

(2) 少なくとも1本が当たる確率を求める。

これは、1 - (3本ともはずれを引く確率) で求められる。

3本ともはずれを引く場合の数は、14本のはずれくじから3本を選ぶ組み合わせなので、 $_{14}C_3$で計算できる。

$_{14}C_3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$

3本ともはずれを引く確率は $\frac{364}{560} = \frac{91}{140} = \frac{13}{20}$。

したがって、少なくとも1本が当たる確率は $1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$。

3. 最終的な答え

(1) 2本がはずれ、1本が当たる確率: $\frac{13}{40}$

(2) 少なくとも1本が当たる確率: $\frac{7}{20}$