問題は、次の4つのパートに分かれています。 * **問1:** $v = 2at$ のとき、$l(t_0, t_1) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N v(t_k) \Delta t$ を計算し、積分の結果と一致することを確かめる。ただし、$\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}$ を用いてよい。 * **問2:** * (1) $\cos \theta + \cos (\theta + \alpha) + \cos (\theta + 2\alpha) + \dots + \cos (\theta + (N-1)\alpha) = \frac{\sin(\theta + (N - \frac{1}{2}) \alpha) - \sin(\theta - \frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$ を証明する。ここで $\alpha > 0$。 * (2) 積分の定義に従い、$\int_a^b \cos \theta d\theta$ を計算する。ここで $a, b$ は定数で $b > a$ である。 * **問3:** 関数 $f(x)$ が $a \le x \le b$ で連続ならば、$\int_a^b f(x) dx = (b-a) f(c)$ を満たす $c$ ($a < c < b$) が存在する（平均値の定理）。この定理を使って、$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ を証明する。 * **問4:** 対数関数 $\log x = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ ($x>0$) の定義を使って、$\log xy = \log x + \log y$ と $\log(\frac{x}{y}) = \log x - \log y$ を示す。ただし、$x > 0$, $y > 0$ である。

1. 問題の内容

問題は、次の4つのパートに分かれています。

* **問1:** $v = 2at$ のとき、$l(t_0, t_1) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N v(t_k) \Delta t$ を計算し、積分の結果と一致することを確かめる。ただし、$\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}$ を用いてよい。

* **問2:**

* (1) $\cos \theta + \cos (\theta + \alpha) + \cos (\theta + 2\alpha) + \dots + \cos (\theta + (N-1)\alpha) = \frac{\sin(\theta + (N - \frac{1}{2}) \alpha) - \sin(\theta - \frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$ を証明する。ここで $\alpha > 0$。

* (2) 積分の定義に従い、$\int_a^b \cos \theta d\theta$ を計算する。ここで $a, b$ は定数で $b > a$ である。

* **問3:** 関数 $f(x)$ が $a \le x \le b$ で連続ならば、$\int_a^b f(x) dx = (b-a) f(c)$ を満たす $c$ ($a < c < b$) が存在する（平均値の定理）。この定理を使って、$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ を証明する。

* **問4:** 対数関数 $\log x = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ ($x>0$) の定義を使って、$\log xy = \log x + \log y$ と $\log(\frac{x}{y}) = \log x - \log y$ を示す。ただし、$x > 0$, $y > 0$ である。

2. 解き方の手順

* **問1:**

1. $t_k = t_0 + k\Delta t$ とし、$\Delta t = \frac{t_1 - t_0}{N}$ とする。

2. $v(t_k) = 2at_k = 2a(t_0 + k\Delta t)$ を代入する。

3. $\sum_{k=1}^N v(t_k) \Delta t = \sum_{k=1}^N 2a(t_0 + k\Delta t) \Delta t = 2a \Delta t \sum_{k=1}^N (t_0 + k\Delta t) = 2a \Delta t (Nt_0 + \Delta t \frac{N(N+1)}{2})$ を計算する。

4. $\Delta t = \frac{t_1 - t_0}{N}$ を代入すると、 $2a \frac{t_1 - t_0}{N} (Nt_0 + \frac{t_1 - t_0}{N} \frac{N(N+1)}{2}) = 2a(t_1 - t_0)(t_0 + \frac{t_1 - t_0}{2} (1 + \frac{1}{N})) = a(t_1 - t_0)(2t_0 + t_1 - t_0 + \frac{t_1 - t_0}{N}) = a(t_1 - t_0)(t_1 + t_0 + \frac{t_1 - t_0}{N})$となる。

5. $N \to \infty$ の極限を取ると、$\lim_{N \to \infty} a(t_1 - t_0)(t_1 + t_0 + \frac{t_1 - t_0}{N}) = a(t_1 - t_0)(t_1 + t_0) = a(t_1^2 - t_0^2)$。

6. 積分 $\int_{t_0}^{t_1} 2at dt = [at^2]_{t_0}^{t_1} = a(t_1^2 - t_0^2)$ と一致する。

* **問2:**

* (1) これは与えられた等式を証明する問題なので、省略します。

* (2) $\int_a^b \cos \theta d\theta = [\sin \theta]_a^b = \sin b - \sin a$。

* **問3:**

1. $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ とおく。平均値の定理より、ある $c \in (a, x)$ が存在して $\frac{F(x) - F(a)}{x-a} = F'(c)$ が成り立つ。

2. $F(a) = \int_a^a f(t) dt = 0$ なので、$\frac{F(x)}{x-a} = F'(c)$。

3. $x \to a$ とすると、$\lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = F'(a)$。

4. 一方、微積分学の基本定理より、$F'(x) = f(x)$。

5. したがって、$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$。

* **問4:**

* (1) $\log xy = \int_1^{xy} \frac{1}{t} dt = \int_1^x \frac{1}{t} dt + \int_x^{xy} \frac{1}{t} dt$。ここで $t = xu$ と置換すると、$dt = x du$。したがって、$\int_x^{xy} \frac{1}{t} dt = \int_1^y \frac{1}{xu} x du = \int_1^y \frac{1}{u} du = \log y$。 よって、$\log xy = \log x + \log y$。

* (2) $\log(\frac{x}{y}) = \int_1^{\frac{x}{y}} \frac{1}{t} dt = \int_1^x \frac{1}{t} dt + \int_x^{\frac{x}{y}} \frac{1}{t} dt = \log x + \int_x^{\frac{x}{y}} \frac{1}{t} dt$。ここで $t = \frac{x}{u}$ と置換すると、$dt = -\frac{x}{u^2} du$。したがって、$\int_x^{\frac{x}{y}} \frac{1}{t} dt = \int_1^y \frac{u}{x} (-\frac{x}{u^2}) du = -\int_1^y \frac{1}{u} du = -\log y$。よって、$\log(\frac{x}{y}) = \log x - \log y$。

3. 最終的な答え

* **問1:** $l(t_0, t_1) = a(t_1^2 - t_0^2)$

* **問2:**

* (1) (証明は省略)

* (2) $\int_a^b \cos \theta d\theta = \sin b - \sin a$

* **問3:** (証明は上記参照)

* **問4:**

* (1) $\log xy = \log x + \log y$

* (2) $\log(\frac{x}{y}) = \log x - \log y$