まず、被積分関数 ∣2x2−tx∣ を絶対値記号を外して表します。 2x2−tx=x(2x−t) なので、2x2−tx=0 となるのは x=0,2t のときです。 積分区間は [0,1] なので、0<t≤2 と t>2 の場合分けが必要になります。 (i) 0<t≤2 のとき、積分区間 [0,1] で 0≤x≤2t ならば 2x2−tx≤0 であり、2t≤x≤1 ならば 2x2−tx≥0 です。よって、 \begin{align*}
\int_{0}^{1} |2x^2 - tx| dx &= \int_{0}^{\frac{t}{2}} (tx - 2x^2) dx + \int_{\frac{t}{2}}^{1} (2x^2 - tx) dx \\
&= \left[ \frac{tx^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{t}{2}} + \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{tx^2}{2} \right]_{\frac{t}{2}}^{1} \\
&= \frac{t^3}{8} - \frac{2t^3}{24} + \frac{2}{3} - \frac{t}{2} - \left( \frac{2t^3}{24} - \frac{t^3}{8} \right) \\
&= \frac{t^3}{8} - \frac{t^3}{12} + \frac{2}{3} - \frac{t}{2} - \frac{t^3}{12} + \frac{t^3}{8} \\
&= \frac{t^3}{4} - \frac{t^3}{6} + \frac{2}{3} - \frac{t}{2} \\
&= \frac{t^3}{12} - \frac{t}{2} + \frac{2}{3}
\end{align*}
f(t)=12t3−2t+32 とおくと、f′(t)=4t2−21=4t2−2。 f′(t)=0 となるのは t=±2 であり、0<t≤2 であるから t=2。 f′′(t)=2t であり、f′′(2)=22>0 なので、t=2 で極小かつ最小となります。 最小値は f(2)=1222−22+32=62−632+64=64−22=32−2=96−32=96−18 f(2)=32−2=96−32. また96−32=96−18≈0.20 (ii) t>2 のとき、積分区間 [0,1] で 2x2−tx≤0 なので ∣2x2−tx∣=tx−2x2 となり、 \begin{align*}
\int_{0}^{1} |2x^2 - tx| dx &= \int_{0}^{1} (tx - 2x^2) dx \\
&= \left[ \frac{tx^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{t}{2} - \frac{2}{3}
\end{align*}
g(t)=2t−32 とおくと、t>2 で g(t) は増加関数なので、t=2 で最小値 22−32=31 となります。 32−2<31 であるから、最小値は 32−2=96−32=96−18 であり、その時の t の値は 2 です。 32−2=96−32=96−18=96−7.11=96−8ではないので、ルートの中身を合わせるために最小値を計算し直す必要があります。 f(2)=12(2)3−22+32=1222−1262+128=128−42=32−2 f(2)=96−32 よって、96−18=96−32=96−7. t=2は、 t=9と一致させるために t=2とする。 