(1) 関数 $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ の導関数を求める。 (2) 陰関数 $x^3 + 3xy + y^6 = 1$ から定まる関数 $y = y(x)$ に対して、$y' = y'(x)$ を $x, y$ を用いて表す。 (3) 放物線 $y^2 = 4x$ 上の点 $(3, 2\sqrt{3})$ における接線の式を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ の導関数を求める。

(2) 陰関数 $x^3 + 3xy + y^6 = 1$ から定まる関数 $y = y(x)$ に対して、$y' = y'(x)$ を $x, y$ を用いて表す。

(3) 放物線 $y^2 = 4x$ 上の点 $(3, 2\sqrt{3})$ における接線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ の導関数を求める。商の微分公式を用いる。

$f'(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2+1) - (x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x - 2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

したがって、$\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ であるから、問1 は 4 である。

(2) $x^3 + 3xy + y^6 = 1$ を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx}(x^3 + 3xy + y^6) = \frac{d}{dx}(1)$

$3x^2 + 3(x'y + xy') + 6y^5y' = 0$

$3x^2 + 3(y + xy') + 6y^5y' = 0$

$3x^2 + 3y + 3xy' + 6y^5y' = 0$

$3xy' + 6y^5y' = -3x^2 - 3y$

$y'(3x + 6y^5) = -3x^2 - 3y$

$y' = \frac{-3x^2 - 3y}{3x + 6y^5} = \frac{-x^2 - y}{x + 2y^5}$

したがって、$y' = \frac{-x^2 - y}{x + 2y^5}$ なので、問2 は 2 であり、問3 は 5 である。

(3) $y^2 = 4x$ を微分すると、

$2yy' = 4$

$y' = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y}$

点 $(3, 2\sqrt{3})$ における接線の傾きは $y'(3) = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

接線の式は $y - 2\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3)$

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{3}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$

したがって、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ なので、問4 は 3 であり、問5 は 3 である。

3. 最終的な答え

(1) 問1 = 4

(2) 問2 = 2、問3 = 5

(3) 問4 = 3、問5 = 3