与えられた積分 $\int (2x+1)\log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (2x+1)\log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

まず、$u = \log x$ と $dv = (2x+1) \, dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = \int (2x+1) \, dx = x^2 + x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$$\int (2x+1)\log x \, dx = (x^2+x)\log x - \int (x^2+x)\frac{1}{x} \, dx$$

$$= (x^2+x)\log x - \int (x+1) \, dx$$

$$= (x^2+x)\log x - \left(\frac{x^2}{2} + x\right) + C$$

$$= (x^2+x)\log x - \frac{x^2}{2} - x + C$$

となります。

3. 最終的な答え

$\int (2x+1)\log x \, dx = (x^2+x)\log x - \frac{x^2}{2} - x + C$