与えられた問題は、逆三角関数の値を計算するものです。具体的には、以下の4つの値を求める必要があります。 (1) $\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{8})$ (3) $\sin^{-1}(\sin \frac{9\pi}{8})$ (4) $\sin(\tan^{-1} \frac{1}{3})$

1. 問題の内容

与えられた問題は、逆三角関数の値を計算するものです。具体的には、以下の4つの値を求める必要があります。

(1) $\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{8})$

(3) $\sin^{-1}(\sin \frac{9\pi}{8})$

(4) $\sin(\tan^{-1} \frac{1}{3})$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin^{-1} x$ は、$\sin \theta = x$ となる $\theta$ の値を求める関数です。$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{3}$ (または 60度) です。なぜなら、$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$です。逆正弦関数の定義域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ なので、$\frac{\pi}{3}$はこの範囲内にあります。

(2) $\cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{8})$

$\cos^{-1} x$ は、$\cos \theta = x$ となる $\theta$ の値を求める関数です。$\cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{8})$ は、$\cos \theta = \cos \frac{\pi}{8}$ となる $\theta$ を求めることになります。$\cos^{-1}$ の定義域は $[0, \pi]$ なので、$\frac{\pi}{8}$ はこの範囲内にあります。したがって、$\cos^{-1}(\cos \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi}{8}$ となります。

(3) $\sin^{-1}(\sin \frac{9\pi}{8})$

$\sin^{-1} x$ は、$\sin \theta = x$ となる $\theta$ の値を求める関数です。$\sin \frac{9\pi}{8}$ は、$\frac{9\pi}{8}$ が $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ の範囲内にないため、直接 $\frac{9\pi}{8}$ とはなりません。$\frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}$ なので、$\sin \frac{9\pi}{8} = \sin (\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8}$ となります。

したがって、$\sin^{-1}(\sin \frac{9\pi}{8}) = \sin^{-1}(-\sin \frac{\pi}{8}) = -\sin^{-1}(\sin \frac{\pi}{8}) = -\frac{\pi}{8}$ となります。

(4) $\sin(\tan^{-1} \frac{1}{3})$

$\tan^{-1} \frac{1}{3}$ を $\theta$ とおくと、$\tan \theta = \frac{1}{3}$ となります。このとき、$\sin \theta$ の値を求める必要があります。

直角三角形を考え、対辺の長さが1、隣辺の長さが3となるようにします。すると、斜辺の長さは $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ となります。

したがって、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{8}$

(3) $-\frac{\pi}{8}$

(4) $\frac{\sqrt{10}}{10}$