$\int \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数で表します。

$\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$

すると、積分は

$\int \frac{x^{2/3}}{x} dx$

となります。

次に、$\frac{x^{2/3}}{x} = x^{2/3 - 1} = x^{-1/3}$ と簡略化します。

したがって、積分は

$\int x^{-1/3} dx$

となります。

最後に、べき乗則を用いて積分を計算します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

この場合、$n = -1/3$ なので、

$\int x^{-1/3} dx = \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2} x^{2/3} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} x^{2/3} + C$