$y = |2x^2 + x|$ のグラフと直線 $y = -x + 4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = |2x^2 + x|$ のグラフと直線 $y = -x + 4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = |2x^2 + x|$ と $y = -x + 4$ の交点を求めます。

場合分けをします。

(i) $2x^2 + x \geq 0$ のとき、$y = 2x^2 + x$ となり、

$2x^2 + x = -x + 4$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

$x = -2$ のとき、$y = -(-2) + 4 = 6$

$x = 1$ のとき、$y = -1 + 4 = 3$

$2x^2 + x \geq 0$ となる条件は、$x \leq -\frac{1}{2}$ または $x \geq 0$ なので、$x = -2$ と $x = 1$ は条件を満たします。

(ii) $2x^2 + x < 0$ のとき、$y = -(2x^2 + x)$ となり、

$-(2x^2 + x) = -x + 4$

$-2x^2 - x = -x + 4$

$2x^2 + 4 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

これは実数解を持ちません。

よって、交点は $(-2, 6)$ と $(1, 3)$ です。

$2x^2 + x < 0$ となるのは $-\frac{1}{2} < x < 0$ のときです。区間を分けて面積を計算します。

求める面積は、

$\int_{-2}^1 |2x^2 + x - (-x + 4)| dx = \int_{-2}^1 |2x^2 + 2x - 4| dx$

$2x^2 + 2x - 4 = 2(x^2 + x - 2) = 2(x+2)(x-1)$

$-2 \leq x \leq 1$ の範囲で $2x^2 + 2x - 4 \leq 0$ であるため、絶対値を外すと負の符号がつきます。

よって、

$\int_{-2}^1 |2x^2 + 2x - 4| dx = \int_{-2}^1 -(2x^2 + 2x - 4) dx = \int_{-2}^1 (-2x^2 - 2x + 4) dx$

$= [-\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x]_{-2}^1$

$= (-\frac{2}{3} - 1 + 4) - (-\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8)$

$= (-\frac{2}{3} + 3) - (\frac{16}{3} - 12)$

$= -\frac{2}{3} + 3 - \frac{16}{3} + 12$

$= -\frac{18}{3} + 15 = -6 + 15 = 9$

3. 最終的な答え

9