$y = |2x^2 + x|$ のグラフと直線 $y = -x + 4$ で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

$y = |2x^2 + x|$ のグラフと直線 $y = -x + 4$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = |2x^2 + x|$ を場合分けして考えます。

(i) $2x^2 + x \geq 0$ のとき、つまり $x \leq -\frac{1}{2}$ または $x \geq 0$ のとき、

$y = 2x^2 + x$

(ii) $2x^2 + x < 0$ のとき、つまり $-\frac{1}{2} < x < 0$ のとき、

$y = -(2x^2 + x) = -2x^2 - x$

次に、$y = 2x^2 + x$ と $y = -x + 4$ の交点を求めます。

$2x^2 + x = -x + 4$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 1$

次に、$y = -2x^2 - x$ と $y = -x + 4$ の交点を求めます。

$-2x^2 - x = -x + 4$

$-2x^2 - 4 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

これは実数解を持ちません。

したがって、$y = |2x^2 + x|$ と $y = -x + 4$ の交点は $(-2, 6)$ と $(1, 3)$ です。

求める面積は、$x = -2$ から $x = -\frac{1}{2}$ まで、$(-x + 4) - (2x^2 + x)$ を積分し、

$x = -\frac{1}{2}$ から $x = 0$ まで、$(-x + 4) - (-2x^2 - x)$ を積分し、

$x = 0$ から $x = 1$ まで、$(-x + 4) - (2x^2 + x)$ を積分したものの和です。

$S_1 = \int_{-2}^{-1/2} (-x + 4 - 2x^2 - x) dx = \int_{-2}^{-1/2} (-2x^2 - 2x + 4) dx$

$= \left[ -\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x \right]_{-2}^{-1/2} = (-\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - 2) - (-\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8) = (\frac{1}{12} - \frac{1}{4} - 2) - (\frac{16}{3} - 12) = -\frac{29}{12} - (-\frac{20}{3}) = -\frac{29}{12} + \frac{80}{12} = \frac{51}{12} = \frac{17}{4}$

$S_2 = \int_{-1/2}^{0} (-x + 4 + 2x^2 + x) dx = \int_{-1/2}^{0} (2x^2 + 4) dx$

$= \left[ \frac{2}{3}x^3 + 4x \right]_{-1/2}^{0} = 0 - (\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - 2) = - (-\frac{1}{12} - 2) = \frac{1}{12} + 2 = \frac{25}{12}$

$S_3 = \int_{0}^{1} (-x + 4 - 2x^2 - x) dx = \int_{0}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) dx$

$= \left[ -\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x \right]_{0}^{1} = -\frac{2}{3} - 1 + 4 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} = \frac{28}{12}$

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{51}{12} + \frac{25}{12} + \frac{28}{12} = \frac{104}{12} = \frac{26}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{26}{3}$