$y=|2x^2+x|$ のグラフと直線 $y=-x+4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$y=|2x^2+x|$ のグラフと直線 $y=-x+4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y=|2x^2+x|$ のグラフを考えます。絶対値があるので、場合分けが必要です。

$2x^2+x \geq 0$ のとき、$y=2x^2+x$

$2x^2+x < 0$ のとき、$y=-(2x^2+x)$

$2x^2+x = x(2x+1) = 0$ より、$x=0, -\frac{1}{2}$ です。

したがって、

$x \leq -\frac{1}{2}$ または $x \geq 0$ のとき、$y=2x^2+x$

$-\frac{1}{2} < x < 0$ のとき、$y=-2x^2-x$

次に、$y=|2x^2+x|$ と $y=-x+4$ の交点を求めます。

(i) $x \leq -\frac{1}{2}$ または $x \geq 0$ のとき、$2x^2+x = -x+4$

$2x^2+2x-4 = 0$

$x^2+x-2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x=-2, 1$

$x=-2$ のとき、$y=-(-2)+4=6$

$x=1$ のとき、$y=-1+4=3$

(ii) $-\frac{1}{2} < x < 0$ のとき、$-2x^2-x = -x+4$

$-2x^2 = 4$

$x^2 = -2$

これは実数解を持たない。

したがって、交点は $(-2, 6), (1, 3)$ です。

囲まれた面積を求めるには、積分が必要です。

$S = \int_{-2}^{1} (-x+4 - (2x^2+x)) dx$ + $\int_{-\frac{1}{2}}^{0}$ ($-x+4 - (-2x^2-x)) dx$

$S = \int_{-2}^{-1/2} (-2x^2 -2x +4) dx + \int_{-1/2}^{0} (2x^2+4) dx + \int_{0}^{1} (-2x^2 -2x +4) dx$

$S = \int_{-2}^{1} (-2x^2 - 2x + 4)dx$

$S = [-\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x]_{-2}^{1}$

$S = (-\frac{2}{3} - 1 + 4) - (-\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8)$

$S = (-\frac{2}{3} + 3) - (\frac{16}{3} - 12)$

$S = -\frac{2}{3} + 3 - \frac{16}{3} + 12 = -\frac{18}{3} + 15 = -6 + 15 = 9$

$\int_{-1/2}^{0} (-2x^2-x + x -4) dx = \int_{-1/2}^{0} (-2x^2 - 4)dx$

$\int_{-1/2}^{0} (2x^2+4)dx = [\frac{2}{3}x^3+4x]_{-1/2}^{0} = 0-(\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + 4(-\frac{1}{2})) = \frac{1}{12}+2 = \frac{25}{12}$

$S = \int_{-2}^{-1/2} (-2x^2 -2x +4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 -x^2 + 4x]_{-2}^{-1/2}$

= $[-\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) -\frac{1}{4}-2] - [-\frac{2}{3}(-8)-4-8] = [\frac{1}{12} -\frac{1}{4} - 2] -[\frac{16}{3}-12] = \frac{1-3-24}{12} - [\frac{16-36}{3}] = \frac{-26}{12} - \frac{-20}{3} = \frac{-26+80}{12} = \frac{54}{12} = \frac{9}{2}$

$I = \int_{-2}^{1} [(-x+4)-|2x^2+x|]dx$

$I = \int_{-2}^{-1/2}(-x+4-(2x^2+x))dx + \int_{-1/2}^{0}(-x+4-(-2x^2-x))dx + \int_{0}^{1} (-x+4-(2x^2+x))dx$

$I = \int_{-2}^{-1/2} (-2x^2 -2x + 4) dx + \int_{-1/2}^{0} (2x^2 + 4) dx + \int_{0}^{1} (-2x^2 - 2x + 4)dx$

$I = 9/2 + 25/12 + 7/3 = \frac{54+25+28}{12} = \frac{107}{12}$

別の方法で、積分範囲を分割して計算します。

$\int_{-2}^{1} (-x+4 - |2x^2+x|) dx = \int_{-2}^{-1/2} (-x+4 - (2x^2+x)) dx + \int_{-1/2}^{0} (-x+4 - (-2x^2-x)) dx + \int_{0}^{1} (-x+4 - (2x^2+x)) dx$

$= \int_{-2}^{-1/2} (-2x^2 - 2x + 4) dx + \int_{-1/2}^{0} (2x^2 + 4) dx + \int_{0}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) dx$

1. $\int_{-2}^{-1/2} (-2x^2 - 2x + 4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x]_{-2}^{-1/2} = [-\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - (\frac{1}{4}) - 2] - [-\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8] = [\frac{1}{12} - \frac{1}{4} - 2] - [\frac{16}{3} - 12] = [\frac{1-3-24}{12}] - [\frac{16-36}{3}] = \frac{-26}{12} - (-\frac{20}{3}) = \frac{-13}{6} + \frac{40}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

2. $\int_{-1/2}^{0} (2x^2 + 4) dx = [\frac{2}{3}x^3 + 4x]_{-1/2}^{0} = [0] - [\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - 2] = -[-\frac{1}{12} - 2] = \frac{1}{12} + 2 = \frac{25}{12}$

3. $\int_{0}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x]_{0}^{1} = [-\frac{2}{3} - 1 + 4] - [0] = -\frac{2}{3} + 3 = \frac{-2+9}{3} = \frac{7}{3} = \frac{28}{12}$

$I = \frac{9}{2} + \frac{25}{12} + \frac{7}{3} = \frac{54+25+28}{12} = \frac{107}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{107}{12}$