$0 \le \theta < 3\pi$ のとき、次の方程式を考える。 $\sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$ (1) $a = \sin \theta$, $b = \cos \theta$ とする。このとき、方程式①を $a, b$ で表すとどうなるか。また、$a, b$ の値を求め、方程式①の解の個数を求めよ。 (2) 方程式①の解のうち最小のものを $\alpha$ とし、次に小さいものを $\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ を求めよ。方程式①の解のうち最大のものを $\gamma$ とするとき、$\alpha + \gamma$ を求めよ。このとき、$\sin(\beta + \gamma)$, $\tan(\frac{\gamma - \alpha}{2})$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 3\pi$ のとき、次の方程式を考える。

$\sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$

(1) $a = \sin \theta$, $b = \cos \theta$ とする。このとき、方程式①を $a, b$ で表すとどうなるか。また、$a, b$ の値を求め、方程式①の解の個数を求めよ。

(2) 方程式①の解のうち最小のものを $\alpha$ とし、次に小さいものを $\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ を求めよ。方程式①の解のうち最大のものを $\gamma$ とするとき、$\alpha + \gamma$ を求めよ。このとき、$\sin(\beta + \gamma)$, $\tan(\frac{\gamma - \alpha}{2})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta = 2ab$

$\cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{4} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\theta + \sin\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)$

よって、

$2ab = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b) - \frac{1}{8}$

$2ab = \frac{1}{2}(a+b) - \frac{1}{8}$

$16ab = 4(a+b) - 1$

$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$

$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$ より、

$4a(4b-1) - (4b-1) = 0$ とはならない。

$a = \sin\theta$ と $b = \cos\theta$ なので、$a^2 + b^2 = 1$ である。

また、$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$ より、$4a(4b-1) - (4b-1) = 0$

$4a(4b-1) - (4b-1) = 0$

$(4a-1)(4b-1) - 1 + 1 = (4a-1)(4b-1) = 0$

よって、$4a-1=0$ または $4b-1=0$

$a = \frac{1}{4}$ または $b = \frac{1}{4}$

$a = \sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$0 \le \theta < 3\pi$ で解は3個。

$b = \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$0 \le \theta < 3\pi$ で解は3個。

方程式①の解の個数は6個。

(2)

$a = \sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\alpha = \arcsin \frac{1}{4}$

$\beta = \pi - \arcsin \frac{1}{4}$

$\alpha + \beta = \pi$

$b = \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\gamma = 2\pi - \arccos \frac{1}{4}$

$\alpha + \gamma = 2\pi + \arcsin \frac{1}{4} - \arccos \frac{1}{4}$

$\gamma = 2\pi - \arccos \frac{1}{4}$

$\beta = \pi - \arcsin \frac{1}{4}$

$\beta + \gamma = 3\pi - \arccos \frac{1}{4} - \arcsin \frac{1}{4} = 3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5}{2}\pi$

$\sin (\beta + \gamma) = \sin \frac{5}{2}\pi = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$\alpha + \gamma = 4\pi - (\arccos\frac{1}{4} - \arcsin\frac{1}{4}) = 4\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{7}{2}\pi$

$\sin (\beta + \gamma) = - \frac{1}{8}$

$\gamma - \alpha = 2\pi$

$\tan (\frac{\gamma - \alpha}{2}) = \tan \pi = 0$

$\alpha + \gamma = \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi - \arccos\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

アイ：16

ウ：4

エ：4

オ：1

カ：4

キ：1

ク：4

ケ：6

コ：1

サ：4

シ：1

ス：8

セソ：0