$y = |2x^2 + x|$ のグラフと直線 $y = -x + 4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = |2x^2 + x|$ のグラフと直線 $y = -x + 4$ で囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = |2x^2 + x|$ のグラフについて考えます。$2x^2 + x = x(2x + 1)$ なので、$2x^2 + x = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = -\frac{1}{2}$ のときです。したがって、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 0$ のとき、$2x^2 + x \geq 0$ であり、$-\frac{1}{2} < x < 0$ のとき、$2x^2 + x < 0$ です。

$y = |2x^2 + x|$ は次のように表せます。

$$$$

y = \begin{cases}

2x^2 + x & (x \leq -\frac{1}{2} \text{ or } x \geq 0) \\

-2x^2 - x & (-\frac{1}{2} < x < 0)

\end{cases}

$$$$

次に、$y = 2x^2 + x$ と $y = -x + 4$ の交点を求めます。

$2x^2 + x = -x + 4$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 1$

$x = -2$ のとき $y = -(-2) + 4 = 6$

$x = 1$ のとき $y = -1 + 4 = 3$

よって、交点は $(-2, 6)$ と $(1, 3)$ です。

次に、$y = -2x^2 - x$ と $y = -x + 4$ の交点を求めます。

$-2x^2 - x = -x + 4$

$-2x^2 - 4 = 0$

$2x^2 + 4 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

$x^2 = -2$

これは実数解を持たないので、交点はありません。

したがって、積分区間は $x = -2$ から $x = 0$ までと、$x = 0$ から $x = 1$ までに分けて考えます。

$x = -2$ から $x = 0$ の範囲では、$y = 2x^2 + x$ と $y = -x + 4$ で囲まれた部分の面積を計算します。

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\int_{-2}^{0} ((-x + 4) - (2x^2 + x)) dx = \int_{-2}^{0} (-2x^2 - 2x + 4) dx

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= \left[ -\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( -\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8 \right) = -\left( \frac{16}{3} - 12 \right) = -\frac{16 - 36}{3} = \frac{20}{3}

$$$$

$x = 0$ から $x = 1$ の範囲では、$y = 2x^2 + x$ と $y = -x + 4$ で囲まれた部分の面積を計算します。

$$$$

\int_{0}^{1} ((-x + 4) - (2x^2 + x)) dx = \int_{0}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) dx

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$$$$

= \left[ -\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x \right]_{0}^{1} = -\frac{2}{3} - 1 + 4 - 0 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

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面積の合計は $\frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9$ です。

3. 最終的な答え

9