(1) 点(4, 2)を通り、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 2つの円 $C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$ と $D: (x+1)^2 + y^2 = 2$ の交点をP, Qとする。3点P, Q, R(2, 1)を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

(1) 点(4, 2)を通り、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 2つの円 $C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$ と $D: (x+1)^2 + y^2 = 2$ の交点をP, Qとする。3点P, Q, R(2, 1)を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心をA(2, -1)とする。点(4, 2)における円の接線を求める。

接線の方程式は、接点と中心を結ぶ直線に垂直である。

中心Aと接点(4, 2)を結ぶ直線の傾きは $\frac{2-(-1)}{4-2} = \frac{3}{2}$ である。

したがって、接線の傾きは $-\frac{2}{3}$ である。

求める接線の方程式は $y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 4)$ となる。

$3(y-2) = -2(x-4)$

$3y - 6 = -2x + 8$

$2x + 3y - 14 = 0$

$3y = -2x + 14$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{14}{3}$

(2)

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$(x-1)^2 + (y+1)^2 - 3 + k((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$ と表せる。

この円が点(2, 1)を通るので、代入して

$(2-1)^2 + (1+1)^2 - 3 + k((2+1)^2 + 1^2 - 2) = 0$

$1 + 4 - 3 + k(9 + 1 - 2) = 0$

$2 + 8k = 0$

$k = -\frac{1}{4}$

したがって、求める円の方程式は

$(x-1)^2 + (y+1)^2 - 3 - \frac{1}{4}((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$

$4((x-1)^2 + (y+1)^2 - 3) - ((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$

$4(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 - 3) - (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2) = 0$

$4(x^2 - 2x + y^2 + 2y - 1) - (x^2 + 2x + y^2 - 1) = 0$

$4x^2 - 8x + 4y^2 + 8y - 4 - x^2 - 2x - y^2 + 1 = 0$

$3x^2 - 10x + 3y^2 + 8y - 3 = 0$

$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 + \frac{8}{3}y - 1 = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 - (\frac{5}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 - 1 = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{25}{9} + \frac{16}{9} = \frac{9 + 25 + 16}{9} = \frac{50}{9}$

中心$(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$

半径$\sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{\sqrt{50}}{3} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{2}{3}x + \frac{14}{3}$

よって、$y = -\frac{2}{3}x + \frac{14}{3}$ より、 $2x + 3y - 14 = 0$

$1 = 14$

$2 = 2$

$3 = 3$

$4 = 3$

$5 = 1$

$6 = 4$

(2)

中心: ($\frac{5}{3}$, $-\frac{4}{3}$)

半径: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

$7 = 5$

$8 = 3$

$9 = 4$

$10 = 4$

$11 = 3$

$12 = 5$

$13 = 2$