与えられた連立不等式 $x - y + 1 \geq 0$ $3x + y + 2 \geq 0$ $5x - y - 6 \leq 0$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$x - y + 1 \geq 0$

$3x + y + 2 \geq 0$

$5x - y - 6 \leq 0$

を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立不等式をグラフで表し、領域を求める。

それぞれの不等式を変形すると、

$y \leq x + 1$

$y \geq -3x - 2$

$y \geq 5x - 6$

となる。これらの不等式を満たす領域は、これらの直線の交点によって決まる。

交点を求める。

(1) $y = x + 1$ と $y = -3x - 2$ の交点：

$x + 1 = -3x - 2$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$

$y = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}$

交点は $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4})$

(2) $y = x + 1$ と $y = 5x - 6$ の交点：

$x + 1 = 5x - 6$

$4x = 7$

$x = \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{4} + 1 = \frac{11}{4}$

交点は $(\frac{7}{4}, \frac{11}{4})$

(3) $y = -3x - 2$ と $y = 5x - 6$ の交点：

$-3x - 2 = 5x - 6$

$8x = 4$

$x = \frac{1}{2}$

$y = -3(\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}$

交点は $(\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})$

次に、$2x + y$ の最大値と最小値を求める。領域の頂点の座標を $2x + y$ に代入する。

(1) $(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4})$: $2(-\frac{3}{4}) + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$

(2) $(\frac{7}{4}, \frac{11}{4})$: $2(\frac{7}{4}) + \frac{11}{4} = \frac{14}{4} + \frac{11}{4} = \frac{25}{4}$

(3) $(\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})$: $2(\frac{1}{2}) - \frac{7}{2} = 1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$

したがって、$2x + y$ の最大値は $\frac{25}{4}$ であり、最小値は $-\frac{5}{2}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{25}{4}$

最小値: $-\frac{5}{2}$