与えられた三角方程式 $sin2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$ について、以下の問いに答える問題。 (1) $a = sin\theta$, $b = cos\theta$ とおいたとき、与えられた方程式を $a$, $b$ で表す。 (2) $a$, $b$ の値を求める。 (3) 与えられた方程式の解の個数を求める。 (4) 解のうち最小のものを $\alpha$, 次に小さいものを $\beta$, 最大のものを $\gamma$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha + \gamma$, $sin(\beta + \gamma)$, $tan(\frac{\gamma - \alpha}{2})$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角方程式

$sin2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$

について、以下の問いに答える問題。

(1) $a = sin\theta$, $b = cos\theta$ とおいたとき、与えられた方程式を $a$, $b$ で表す。

(2) $a$, $b$ の値を求める。

(3) 与えられた方程式の解の個数を求める。

(4) 解のうち最小のものを $\alpha$, 次に小さいものを $\beta$, 最大のものを $\gamma$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha + \gamma$, $sin(\beta + \gamma)$, $tan(\frac{\gamma - \alpha}{2})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta = 2ab$ である。

また、$cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = cos\theta cos\frac{\pi}{4} + sin\theta sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\theta + sin\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}(a + b)$ である。

これらを与えられた方程式に代入すると、

$2ab = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(a + b) - \frac{1}{8}$

$2ab = \frac{1}{2}(a + b) - \frac{1}{8}$

$16ab = 4(a + b) - 1$

$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$

よって、$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$ である。

(2) $16ab - 4a - 4b + 1 = 0$ を変形する。

$4a(4b - 1) = 4b - 1$

$a = \frac{4b-1}{4(4b-1)}$

$(4a-1)(4b-1) = 0$より、$4a - 1 = 0$ または $4b - 1 = 0$。

したがって、$a = \frac{1}{4}$ または $b = \frac{1}{4}$。

(3) $a = sin\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\theta = arcsin(\frac{1}{4})$。$0 \leq \theta < 3\pi$ より、解は4個。

$b = cos\theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\theta = arccos(\frac{1}{4})$。$0 \leq \theta < 3\pi$ より、解は4個。

ただし、$sin^2\theta + cos^2\theta = (\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8} \neq 1$

よって、$a=sin\theta = \frac{1}{4}$ と $b=cos\theta = \frac{1}{4}$を同時に満たす$\theta$は存在しない。

$sin2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$

$sin2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}sin\theta) - \frac{1}{8}$

$sin2\theta = \frac{1}{2}cos\theta + \frac{1}{2}sin\theta - \frac{1}{8}$

$\theta = arcsin(\frac{1}{4})$の場合, $\alpha = arcsin(\frac{1}{4}), \pi - arcsin(\frac{1}{4}), 2\pi+arcsin(\frac{1}{4}), 3\pi-arcsin(\frac{1}{4})$

$\theta = arccos(\frac{1}{4})$の場合, $\alpha = arccos(\frac{1}{4}), 2\pi - arccos(\frac{1}{4}), 2\pi+arccos(\frac{1}{4}), 4\pi-arccos(\frac{1}{4})$

よって、方程式①は 4 個の解をもつ。

(4) 解のうち最小のものを $\alpha$, 次に小さいものを $\beta$, 最大のものを $\gamma$ とするとき、

$\alpha = arcsin(\frac{1}{4})$

$\beta = arccos(\frac{1}{4})$

$\gamma = 3\pi - arcsin(\frac{1}{4})$

$\alpha + \gamma = arcsin(\frac{1}{4}) + 3\pi - arcsin(\frac{1}{4}) = 3\pi$

$\beta = arccos(\frac{1}{4})$

$\beta + \gamma = arccos(\frac{1}{4}) + 3\pi - arcsin(\frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - arcsin(\frac{1}{4}) + 3\pi - arcsin(\frac{1}{4})$

$sin(\beta + \gamma) = sin(3\pi + arccos(\frac{1}{4}) - arcsin(\frac{1}{4}))$

3. 最終的な答え

アイ: 16

ウ: 4

エ: 4

オ: 1

カ: 4

キ: 1

ク: 4

ケ: 4

コ: 2

サ: 3

シ: 1

ス: 4

セソ: 3