与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式をペアでグループ化します。具体的には、$a^2$ を含む項と、$b$ と $1$ を含む項をグループ化します。

$a^2b + a^2 - b - 1 = (a^2b + a^2) + (-b - 1)$

次に、各グループから共通因数を括り出します。最初のグループからは $a^2$、2番目のグループからは $-1$ を括り出します。

$(a^2b + a^2) + (-b - 1) = a^2(b + 1) - 1(b + 1)$

ここで、$(b + 1)$ が共通因数であることに気づきます。$(b + 1)$ を括り出すと、次のようになります。

$a^2(b + 1) - 1(b + 1) = (a^2 - 1)(b + 1)$

最後に、$a^2 - 1$ が差の二乗の形になっていることに注目します。$a^2 - 1$ は $(a - 1)(a + 1)$ と因数分解できます。

$(a^2 - 1)(b + 1) = (a - 1)(a + 1)(b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a - 1)(a + 1)(b + 1)$