2次関数 $y = \frac{3}{2}x^2$ のグラフ上に、$x$座標がそれぞれ-2, 3となる2点A, Bを取り、A, Bを通る直線と$y$軸との交点をCとする。(1) 3点A, B, Cの座標を求めなさい。(2) $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = \frac{3}{2}x^2$ のグラフ上に、$x$座標がそれぞれ-2, 3となる2点A, Bを取り、A, Bを通る直線と$y$軸との交点をCとする。(1) 3点A, B, Cの座標を求めなさい。(2) $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Aと点Bの座標を求める。

点Aの$x$座標は-2なので、$y = \frac{3}{2}(-2)^2 = \frac{3}{2} \times 4 = 6$。よって、A(-2, 6)。

点Bの$x$座標は3なので、$y = \frac{3}{2}(3)^2 = \frac{3}{2} \times 9 = \frac{27}{2}$。よって、B(3, $\frac{27}{2}$)。

次に、直線ABの方程式を求める。

直線ABの傾きは、$\frac{\frac{27}{2} - 6}{3 - (-2)} = \frac{\frac{27-12}{2}}{5} = \frac{\frac{15}{2}}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$。

直線ABの方程式を $y = \frac{3}{2}x + b$ とおくと、点A(-2, 6)を通るので、

$6 = \frac{3}{2}(-2) + b$

$6 = -3 + b$

$b = 9$

よって、直線ABの方程式は $y = \frac{3}{2}x + 9$。

点Cは直線ABと$y$軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると、

$y = \frac{3}{2}(0) + 9 = 9$。

よって、C(0, 9)。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求める。

$\triangle OAB$ の面積は、点A, Bから $x$ 軸に垂線を下ろし、台形を作って計算する。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \times (6 + \frac{27}{2}) \times (3 - (-2))$

$= \frac{1}{2} \times (\frac{12 + 27}{2}) \times 5$

$= \frac{1}{2} \times \frac{39}{2} \times 5 = \frac{195}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) A(-2, 6), B(3, $\frac{27}{2}$), C(0, 9)

(2) $\frac{195}{4}$