2次関数 $y = \frac{3}{2}x^2$ のグラフ上に、x座標がそれぞれ-2と3である点A, Bをとる。A, Bを通る直線とy軸との交点をCとする。 (1) 3点A, B, Cの座標を求める。 (2) △OABの面積を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = \frac{3}{2}x^2$ のグラフ上に、x座標がそれぞれ-2と3である点A, Bをとる。A, Bを通る直線とy軸との交点をCとする。

(1) 3点A, B, Cの座標を求める。

(2) △OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Aのx座標は-2なので、$y = \frac{3}{2}(-2)^2 = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ より、Aの座標は(-2, 6)。

点Bのx座標は3なので、$y = \frac{3}{2}(3)^2 = \frac{3}{2} \times 9 = \frac{27}{2}$ より、Bの座標は(3, $\frac{27}{2}$)。

A, Bを通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

A(-2, 6)を通るので、$6 = -2a + b$。

B(3, $\frac{27}{2}$)を通るので、$\frac{27}{2} = 3a + b$。

この連立方程式を解く。

$\frac{27}{2} - 6 = 3a - (-2a)$

$\frac{27}{2} - \frac{12}{2} = 5a$

$\frac{15}{2} = 5a$

$a = \frac{15}{2} \div 5 = \frac{15}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{2}$

$6 = -2 \times \frac{3}{2} + b$

$6 = -3 + b$

$b = 9$

よって、直線ABの式は $y = \frac{3}{2}x + 9$。

Cは直線ABとy軸の交点なので、x=0を代入すると、$y = \frac{3}{2}(0) + 9 = 9$。

したがって、Cの座標は(0, 9)。

(2)

△OABの面積は、点Aからx軸までの距離 $6$ を高さ、$3-(-2)=5$ を底辺とする三角形と、点Bからx軸までの距離 $\frac{27}{2}$ を高さ、$3-(-2)=5$ を底辺とする三角形に分割して考える。

Oを原点とする。

△OAB = △OAC + △OBC.

ただし、今回の場合は、点Cはy軸上の点なので、△OAB = (△OACのx軸に対する符号を反転させたものの絶対値) + △OBC となる。

直線ABの式を $y = \frac{3}{2}x + 9$ とおく。

△OABの面積 = $\frac{1}{2} \times 5 \times |9| = \frac{45}{2}$。

△OAB = $\frac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2}|(-2)(\frac{27}{2}) - (3)(6)| = \frac{1}{2}|-27 - 18| = \frac{1}{2}|-45| = \frac{45}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

A(-2, 6)

B(3, $\frac{27}{2}$)

C(0, 9)

(2)

$\frac{45}{2}$