$\sqrt{3 - \sqrt{5}}$を簡略化してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{3 - \sqrt{5}}$を簡略化してください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すために、$\sqrt{a}-\sqrt{b}$の形に変形することを考えます。ただし、$a>b>0$とします。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$です。

$a+b = 3$かつ$4ab = 5$となる$a$と$b$を探します。

$ab = \frac{5}{4}$なので、$b = \frac{5}{4a}$とします。

$a + \frac{5}{4a} = 3$

$4a^2 + 5 = 12a$

$4a^2 - 12a + 5 = 0$

$(2a - 1)(2a - 5) = 0$

$a = \frac{1}{2}$または$a = \frac{5}{2}$

$a > b$なので、$a = \frac{5}{2}$を選びます。

$b = \frac{5}{4a} = \frac{5}{4 \times \frac{5}{2}} = \frac{1}{2}$

したがって、$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}})^2} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$