与えられた式 $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$ を因数分解します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (2a-3)x + a^2 - 3a + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、定数項である $a^2 - 3a + 2$ を因数分解します。

$a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2)$

次に、与えられた式全体を因数分解します。$x^2$ の係数は 1 なので、$(x + p)(x + q)$ の形になると予想できます。ここで、$p + q = -(2a - 3)$、$pq = (a - 1)(a - 2)$ を満たす $p, q$ を探します。

$p = -(a - 1), q = -(a - 2)$ とすると、

$p + q = -(a - 1) - (a - 2) = -2a + 3 = -(2a - 3)$

$pq = (-(a - 1))(-(a - 2)) = (a - 1)(a - 2) = a^2 - 3a + 2$

となるので、与えられた式は次のように因数分解できます。

$x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 3a + 2 = (x - (a - 1))(x - (a - 2))$

これを整理すると、

$x^2 - (2a - 3)x + a^2 - 3a + 2 = (x - a + 1)(x - a + 2)$

3. 最終的な答え

$(x - a + 1)(x - a + 2)$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめ、平方完成します。

$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

$-y^2 - 6y = -(y^2 + 6y) = -(y^2 + 6y + 9 - 9) = -(y + 3)^2 + 9$

与えられた式は、

$x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = (x - 2)^2 - 4 - (y + 3)^2 + 9 - 5$

$= (x - 2)^2 - (y + 3)^2$

これは $A^2 - B^2$ の形なので、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用します。

$A = x - 2, B = y + 3$ とすると、

$(x - 2)^2 - (y + 3)^2 = (x - 2 + y + 3)(x - 2 - (y + 3))$

$= (x + y + 1)(x - y - 5)$

3. 最終的な答え

$(x + y + 1)(x - y - 5)$

## (5) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $3a^2 - 5ab - 2b^2 + 4a - b + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$a$ についての 2 次式と見て整理します。

$3a^2 + (4 - 5b)a - 2b^2 - b + 1$

定数項 $-2b^2 - b + 1$ を因数分解します。

$-2b^2 - b + 1 = -(2b^2 + b - 1) = -(2b - 1)(b + 1) = (1 - 2b)(b + 1)$

与式を因数分解すると、$(3a + p)(a + q)$ となるはずなので、$3a^2 + (3q + p)a + pq$ と比較すると、

$pq = (1 - 2b)(b + 1)$ かつ $3q + p = 4 - 5b$ を満たす $p, q$ を探します。

$p = 1 - 2b, q = b + 1$ とすると、

$3q + p = 3(b + 1) + 1 - 2b = 3b + 3 + 1 - 2b = b + 4$ となり、一致しません。

$p = -(2b - 1), q = -(b + 1)$としても一致しません。

$p = b + 1, q = 1 - 2b$とすると、

$3q + p = 3(1 - 2b) + (b + 1) = 3 - 6b + b + 1 = 4 - 5b$ となり、一致します。

よって、

$3a^2 + (4 - 5b)a - 2b^2 - b + 1 = (3a + b + 1)(a - 2b + 1)$

3. 最終的な答え

$(3a + b + 1)(a - 2b + 1)$