与えられた3つの式を因数分解します。今回は、(3) の式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解します。今回は、(3) の式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

この式を整理します。例えば、$a$ についての多項式として見ると、$a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2$ となります。

次に、この式を因数分解します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2+bc+c^2+2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2+bc+c^2) + 2abc + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + ab^2 + abc + ac^2 + 2abc + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + ab(b+c) + ac(c+2b) + bc(b+c)$

式全体を $(a+b)(b+c)(c+a)$ に変形できるか試します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc$

この形にするためには $abc$ を足せばよいことがわかります。

元の式は $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$ でした。

上記の$(a+b)(b+c)(c+a)$ の展開式 $a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc$ に、さらに $abc$ を加えると

$a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$ となり、元の式と一致します。

したがって、元の式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$