(2) $x^2 - 8y + 2xy - 16$ を因数分解してください。 (4) $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解してください。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、最初から2つの問題について解答します。

1. 問題の内容

(2) $x^2 - 8y + 2xy - 16$ を因数分解してください。

(4) $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

(2)

まず、式を整理します。

$x^2 - 8y + 2xy - 16 = x^2 + 2xy - 8y - 16$

次に、共通因数でくくり出すことを考えます。

$x^2 + 2xy - 8y - 16 = x(x + 2y) - 8(y + 2)$

ここで、$(x + 2y)$ と $(y + 2)$ を共通因数としてくくり出すことはできません。

そこで、別の方法を試します。与式を以下のように並び替えます。

$x^2 - 16 + 2xy - 8y$

$x^2 - 16$ は二乗の差なので、$(x + 4)(x - 4)$ と因数分解できます。

$2xy - 8y$ は $2y(x - 4)$ と因数分解できます。

よって、

$x^2 - 16 + 2xy - 8y = (x + 4)(x - 4) + 2y(x - 4)$

共通因数 $(x - 4)$ でくくり出すと、

$(x + 4)(x - 4) + 2y(x - 4) = (x - 4)(x + 4 + 2y)$

したがって、$x^2 - 8y + 2xy - 16 = (x - 4)(x + 2y + 4)$

(4)

与えられた式は $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ です。

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (y - 2)x - 3y - 3$

次に、定数項 $-3y - 3$ を $-3(y + 1)$ と変形します。

$x^2 + (y - 2)x - 3(y + 1)$

因数分解できると仮定すると、$(x + a)(x + b)$ の形になるはずです。展開すると、

$x^2 + (a + b)x + ab$

よって、$a + b = y - 2$ かつ $ab = -3(y + 1)$ となる $a, b$ を探します。

ここで、$a = y + 1$ と $b = -3$ とすると、

$a + b = y + 1 - 3 = y - 2$

$ab = (y + 1)(-3) = -3(y + 1)$

となり、条件を満たします。

したがって、$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = (x + y + 1)(x - 3)$

3. 最終的な答え

(2) $(x - 4)(x + 2y + 4)$

(4) $(x + y + 1)(x - 3)$