2次方程式の問題が2つあります。 問題2(1)は、2次方程式 $(2x-3)^2 = x-2$ を解く問題です。 問題2(2)は、2次方程式 $x^2 + (m-1)x + m^2 = 0$ が実数解を持つような定数 $m$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式の問題が2つあります。

問題2(1)は、2次方程式 $(2x-3)^2 = x-2$ を解く問題です。

問題2(2)は、2次方程式 $x^2 + (m-1)x + m^2 = 0$ が実数解を持つような定数 $m$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題2(1)の解き方：

まず、与えられた方程式を展開して整理します。

$(2x-3)^2 = x-2$

$4x^2 - 12x + 9 = x - 2$

$4x^2 - 13x + 11 = 0$

次に、この2次方程式を解の公式を用いて解きます。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。ここで、$a = 4$, $b = -13$, $c = 11$ なので、

$x = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(4)(11)}}{2(4)}$

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 176}}{8}$

$x = \frac{13 \pm \sqrt{-7}}{8}$

$x = \frac{13 \pm i\sqrt{7}}{8}$

問題2(2)の解き方：

2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0以上である必要があります。与えられた2次方程式は $x^2 + (m-1)x + m^2 = 0$ なので、$a = 1$, $b = m-1$, $c = m^2$ です。

したがって、

$D = (m-1)^2 - 4(1)(m^2) \geq 0$

$m^2 - 2m + 1 - 4m^2 \geq 0$

$-3m^2 - 2m + 1 \geq 0$

$3m^2 + 2m - 1 \leq 0$

$(3m - 1)(m + 1) \leq 0$

この不等式を解くと、$-1 \leq m \leq \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

問題2(1): $x = \frac{13 \pm i\sqrt{7}}{8}$

問題2(2): $-1 \leq m \leq \frac{1}{3}$