与えられた4つの分数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$ (4) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの分数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$

(4) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$の場合

分母の共役複素数は$\sqrt{3}-\sqrt{2}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$の場合

分母の共役複素数は$\sqrt{5}+\sqrt{3}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$の場合

分母の共役複素数は$\sqrt{5}-1$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1} = \frac{2\sqrt{3} \times (\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1) \times (\sqrt{5}-1)} = \frac{2\sqrt{15}-2\sqrt{3}}{5-1} = \frac{2\sqrt{15}-2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$の場合

分母の共役複素数は$\sqrt{5}+\sqrt{2}$なので、分子と分母にこれをかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}{5-2} = \frac{5+2\sqrt{10}+2}{3} = \frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$