(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。 (2) $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。

(2) $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 展開して整理する。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

$= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

$= a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2)$

$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2)

$a^2 + b^2 = 1$ (1)

$c^2 + d^2 = 1$ (2)

$ac + bd = 1$ (3)

(1)より、$a^2+b^2=1$

(2)より、$c^2+d^2=1$

したがって、$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1$

(1)より、$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(3)より、$ac+bd=1$ なので、$(ac+bd)^2=1$

よって、$1 + (ad-bc)^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = 0$

$ad-bc = 0$

次に、$a^2 + d^2$ を求める。

$a^2+d^2 = (a^2+b^2) + (c^2+d^2) - (b^2+c^2)$

$a^2+d^2 = 1 + 1 - (b^2+c^2) = 2 - (b^2+c^2)$

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ を展開すると、

$a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

これは常に成り立つ。

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = 1$

$(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = 0$

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = 1$ より $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = 1$

$ac+bd = 1$ より $a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 = 1$

よって $a^2d^2 + b^2c^2 = 2abcd$. これと $ad-bc=0$ より $ad=bc$.

$a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd = (ad-bc)^2 = 0$

$a^2 + d^2 + b^2 + c^2 = 2$

$(a^2 + d^2) = (a^2+b^2) + (c^2+d^2) - (b^2+c^2)$

したがって $a^2+d^2=2-(b^2+c^2)$

$a^2+d^2$ と $b^2+c^2$ を求める。

$(a+d)^2 = a^2+d^2+2ad$

$(b+c)^2 = b^2+c^2+2bc$

$(a-d)^2 = a^2+d^2-2ad$

$(b-c)^2 = b^2+c^2-2bc$

$ad = bc$ より $b^2 + c^2= 1$

したがって $a^2+d^2=1$

3. 最終的な答え

(1) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $ad-bc = 0$, $a^2+d^2 = 1$, $b^2+c^2 = 1$