数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が、 $(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n = a_n + \sqrt{3}b_n$ で定義される。 $a_{n+1} = Aa_n + Bb_n$ および $b_{n+1} = Ca_n + Db_n$ を満たす有理数 $A, B, C, D$ が存在する時、$A+B+C+D$ の値と $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} a_i$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が、 $(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n = a_n + \sqrt{3}b_n$ で定義される。

$a_{n+1} = Aa_n + Bb_n$ および $b_{n+1} = Ca_n + Db_n$ を満たす有理数 $A, B, C, D$ が存在する時、$A+B+C+D$ の値と $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} a_i$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき $(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^1 = a_1 + \sqrt{3}b_1$ であるから、

$a_1 = \frac{1}{10}$、 $b_1 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ である。

$n=2$ のとき、$(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^2 = (\frac{1+5\sqrt{3}}{10}) (\frac{1+5\sqrt{3}}{10}) = \frac{1 + 10\sqrt{3} + 25\times3}{100} = \frac{76 + 10\sqrt{3}}{100} = \frac{38}{50} + \frac{5\sqrt{3}}{50} = \frac{19}{25} + \frac{\sqrt{3}}{10}$.

よって、$a_2 = \frac{19}{25}$、 $b_2 = \frac{1}{10}$ である。

数列の漸化式 $a_{n+1} = Aa_n + Bb_n$ と $b_{n+1} = Ca_n + Db_n$ より、

$a_2 = Aa_1 + Bb_1$ かつ $b_2 = Ca_1 + Db_1$ であるから、

$\frac{19}{25} = A \times \frac{1}{10} + B \times \frac{1}{2}$ かつ $\frac{1}{10} = C \times \frac{1}{10} + D \times \frac{1}{2}$

それぞれの式を整理する。

$\frac{19}{25} = \frac{A}{10} + \frac{B}{2}$ より $38 = A + 5B$

$\frac{1}{10} = \frac{C}{10} + \frac{D}{2}$ より $1 = C + 5D$

$(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^{n+1} = (\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n \times (\frac{1+5\sqrt{3}}{10}) = (a_n + \sqrt{3}b_n)(\frac{1+5\sqrt{3}}{10}) = \frac{a_n + 5\sqrt{3}a_n + \sqrt{3}b_n + 15b_n}{10} = \frac{a_n + 15b_n}{10} + \sqrt{3}\frac{5a_n + b_n}{10}$

よって、$a_{n+1} = \frac{a_n + 15b_n}{10}$ かつ $b_{n+1} = \frac{5a_n + b_n}{10}$ である。

このことから、$A = \frac{1}{10}, B = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}, C = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, D = \frac{1}{10}$ である。

$A+B+C+D = \frac{1}{10} + \frac{15}{10} + \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$.

ここで、$r = \frac{1+5\sqrt{3}}{10}$ とすると、$|r| > 1$ なので$\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$となり、問題文の条件にそぐわない。

もう一つの解釈として、$|\frac{1+5\sqrt{3}}{10}| < 1$となるので収束することを前提として考えてみる。

$|r| = |\frac{1+5\sqrt{3}}{10}| = \frac{1+5\sqrt{3}}{10} \approx \frac{1+5(1.732)}{10} = \frac{1+8.66}{10} = \frac{9.66}{10} = 0.966 < 1$

よって、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ は共に 0 に収束する。

したがって、$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^\infty a_i$ は有限の値に収束する。

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i$.

$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + \sqrt{3} b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n = \frac{\frac{1+5\sqrt{3}}{10}}{1-\frac{1+5\sqrt{3}}{10}} = \frac{1+5\sqrt{3}}{10 - (1+5\sqrt{3})} = \frac{1+5\sqrt{3}}{9-5\sqrt{3}} = \frac{(1+5\sqrt{3})(9+5\sqrt{3})}{(9-5\sqrt{3})(9+5\sqrt{3})} = \frac{9+5\sqrt{3}+45\sqrt{3}+75}{81-75} = \frac{84+50\sqrt{3}}{6} = \frac{42+25\sqrt{3}}{3} = 14 + \frac{25}{3}\sqrt{3}$.

この式より、$\sum_{n=1}^\infty a_n = 14$ かつ $\sum_{n=1}^\infty b_n = \frac{25}{3}$ である。

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}, C = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, D = \frac{1}{10}$

$A+B+C+D = \frac{1}{10} + \frac{15}{10} + \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$.

3. 最終的な答え

$A+B+C+D = \frac{11}{5}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} a_i = 14$