$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x + y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x + y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x + y$の値を求める。

$x + y = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

$x + y = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}$

$x + y = \frac{2\sqrt{7}}{7 - 5}$

$x + y = \frac{2\sqrt{7}}{2}$

$x + y = \sqrt{7}$

(2) $xy$の値を求める。

$xy = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

$xy = \frac{1}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}$

$xy = \frac{1}{7 - 5}$

$xy = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2$の値を求める。

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \frac{1}{2}$

$x^2 + y^2 = 7 - 1$

$x^2 + y^2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = \sqrt{7}$

(2) $xy = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = 6$