与えられた不等式 $5^{x-2} \leqq 125$ を解き、$x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $5^{x-2} \leqq 125$ を解き、$x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、両辺を同じ底の指数で表すことを試みます。125 は $5^3$ と表せるので、不等式は次のようになります。

$5^{x-2} \leqq 5^3$

指数関数 $y = 5^x$ は単調増加であるため、不等式の指数部分を比較することができます。つまり、次のようになります。

$x - 2 \leqq 3$

この不等式を $x$ について解きます。両辺に 2 を足すと、

$x \leqq 3 + 2$

$x \leqq 5$

したがって、$x$ は 5 以下となります。

3. 最終的な答え

$x \leqq 5$