与えられた分数式を計算する問題です。 分数式は $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数式を計算する問題です。

分数式は $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の符号を変えたものを分母分子に掛けます。

今回は $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ に対して、$1+(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ と見て、$1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ を分母分子に掛けます。

まず、分子を計算します。

$(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})) = (1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 = 1-2\sqrt{2}+2-3 = -2-2\sqrt{2}$

次に、分母を計算します。

$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})) = 1 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 1 - (2 + 2\sqrt{6} + 3) = 1 - (5+2\sqrt{6}) = -4 - 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{-2-2\sqrt{2}}{-4-2\sqrt{6}} = \frac{-2(1+\sqrt{2})}{-2(2+\sqrt{6})} = \frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}$

ここで、さらに分母を有理化するために、$2-\sqrt{6}$ を分母分子に掛けます。

$\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}} = \frac{(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{6})}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})} = \frac{2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{2} - \sqrt{12}}{4 - 6} = \frac{2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{-(2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{2} = \frac{-2 + \sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$-1 + \frac{\sqrt{6}}{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$

または

$\frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - 1$

または

$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-2}{2}$