与えられた4つの式について、二重根号を外して式を簡略化します。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ (4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式について、二重根号を外して式を簡略化します。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ を外すには、次の公式を利用します。

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

または、$a \pm 2\sqrt{b}$の形で、$a = x+y$, $b=xy$ となる$x, y$を見つけ、$x>y$とすれば、

$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ について

$4+2\sqrt{3}$ を $a + 2\sqrt{b}$ の形と見ると、$a=4$, $b=3$。

$x+y = 4$ かつ $xy = 3$ を満たす $x, y$ を探すと、$x=3$, $y=1$ が見つかる。

したがって、$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ について

$5-2\sqrt{6}$ を $a - 2\sqrt{b}$ の形と見ると、$a=5$, $b=6$。

$x+y = 5$ かつ $xy = 6$ を満たす $x, y$ を探すと、$x=3$, $y=2$ が見つかる。

したがって、$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ について

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ なので、$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}}$

$9+2\sqrt{14}$ を $a + 2\sqrt{b}$ の形と見ると、$a=9$, $b=14$。

$x+y = 9$ かつ $xy = 14$ を満たす $x, y$ を探すと、$x=7$, $y=2$ が見つかる。

したがって、$\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ について

$6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 2 \sqrt{9 \cdot 2} = 2 \sqrt{18}$ なので、$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{11-2\sqrt{18}}$

$11-2\sqrt{18}$ を $a - 2\sqrt{b}$ の形と見ると、$a=11$, $b=18$。

$x+y = 11$ かつ $xy = 18$ を満たす $x, y$ を探すと、$x=9$, $y=2$ が見つかる。

したがって、$\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

(4) $3 - \sqrt{2}$