2次方程式 $3x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha$, $\beta$ について、解と係数の関係は以下の通りである。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

本問題の場合、$a = 3$, $b = -2$, $c = 1$ であるから、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$

$\alpha\beta = \frac{1}{3}$

$\alpha^3 + \beta^3$ は、$(\alpha + \beta)^3$ を用いて以下のように変形できる。

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha^2\beta - 3\alpha\beta^2$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここに、$\alpha + \beta = \frac{2}{3}$, $\alpha\beta = \frac{1}{3}$ を代入する。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\frac{2}{3})^3 - 3(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{8}{27} - \frac{6}{9}$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{8}{27} - \frac{18}{27}$

$\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{10}{27}$

3. 最終的な答え

$-\frac{10}{27}$