与えられた分数の分母を有理化し、簡略化すること。与えられた分数は $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、簡略化すること。与えられた分数は $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役複素数である $3 + \sqrt{5}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

分子は $(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = (3 + \sqrt{5})^2$ となり、

分母は $(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})$ となります。

まず分子を展開します。

$(3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2(3)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

次に分母を展開します。これは和と差の積の公式 $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ を使えます。

$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

よって、

$\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4}$

最後に、分子と分母を2で割って簡約化します。

$\frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$