次の各複素数について、それぞれ共役な複素数との和と積を求めよ。 (1) $-2+3i$ (2) $5-4i$ (3) $6i$ (4) $-3$

1. 問題の内容

次の各複素数について、それぞれ共役な複素数との和と積を求めよ。

(1) $-2+3i$

(2) $5-4i$

(3) $6i$

(4) $-3$

2. 解き方の手順

複素数 $a+bi$ の共役複素数は $a-bi$ で与えられます。

和は元の複素数と共役複素数を足し合わせることで求め、積は掛け合わせることで求めます。

(1) 複素数 $-2+3i$ の共役複素数は $-2-3i$ です。

和は $(-2+3i) + (-2-3i) = -4$

積は $(-2+3i) \times (-2-3i) = (-2)^2 - (3i)^2 = 4 - (-9) = 13$

(2) 複素数 $5-4i$ の共役複素数は $5+4i$ です。

和は $(5-4i) + (5+4i) = 10$

積は $(5-4i) \times (5+4i) = 5^2 - (4i)^2 = 25 - (-16) = 41$

(3) 複素数 $6i$ は $0+6i$ と書けるので、共役複素数は $-6i$ です。

和は $6i + (-6i) = 0$

積は $6i \times (-6i) = -36i^2 = -36(-1) = 36$

(4) 複素数 $-3$ は $-3+0i$ と書けるので、共役複素数は $-3-0i = -3$ です。

和は $-3 + (-3) = -6$

積は $(-3) \times (-3) = 9$

3. 最終的な答え

(1) 和: $-4$, 積: $13$

(2) 和: $10$, 積: $41$

(3) 和: $0$, 積: $36$

(4) 和: $-6$, 積: $9$