複素数の割り算を計算する問題です。分母を実数化するために、分母の共役複素数を分母と分子に掛けます。

はい、承知いたしました。複素数の計算問題ですね。

OCRの結果から以下の問題を解きます。

問題63

(1) $\frac{3+i}{1+2i}$

(2) $\frac{2-i}{2+i}$

(3) $\frac{2i}{3-i}$

(4) $\frac{1}{2i}$

(5) $\frac{3+i}{2-i}$

(6) $\frac{4-5i}{i}$

問題65

(1) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$

(3) $(2+\sqrt{-3})^2$

(5) $\frac{\sqrt{-25}}{\sqrt{-5}}$

**問題63**

1. 問題の内容

複素数の割り算を計算する問題です。分母を実数化するために、分母の共役複素数を分母と分子に掛けます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{3+i}{1+2i}$

分母の共役複素数 $1-2i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{3 - 6i + i - 2i^2}{1 - 4i^2} = \frac{3 - 5i + 2}{1 + 4} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i$

(2) $\frac{2-i}{2+i}$

分母の共役複素数 $2-i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(3) $\frac{2i}{3-i}$

分母の共役複素数 $3+i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2i}{3-i} = \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{6i + 2i^2}{9 - i^2} = \frac{6i - 2}{9 + 1} = \frac{-2 + 6i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

(4) $\frac{1}{2i}$

分母を実数化するために、$i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{2i} = \frac{i}{2i^2} = \frac{i}{-2} = -\frac{1}{2}i$

(5) $\frac{3+i}{2-i}$

分母の共役複素数 $2+i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{6 + 5i - 1}{4 + 1} = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i$

(6) $\frac{4-5i}{i}$

分母を実数化するために、$-i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{4-5i}{i} = \frac{(4-5i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-4i + 5i^2}{-i^2} = \frac{-4i - 5}{1} = -5 - 4i$

3. 最終的な答え

(1) $1 - i$

(2) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(3) $-\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

(4) $-\frac{1}{2}i$

(5) $1 + i$

(6) $-5 - 4i$

**問題65**

1. 問題の内容

複素数を含む式の計算問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ , $\sqrt{-8} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$

$\sqrt{-2}\sqrt{-8} = (\sqrt{2}i)(2\sqrt{2}i) = 2(\sqrt{2})^2 i^2 = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4$

(3) $(2+\sqrt{-3})^2$

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$

$(2+\sqrt{-3})^2 = (2+\sqrt{3}i)^2 = 4 + 4\sqrt{3}i + 3i^2 = 4 + 4\sqrt{3}i - 3 = 1 + 4\sqrt{3}i$

(5) $\frac{\sqrt{-25}}{\sqrt{-5}}$

$\sqrt{-25} = 5i$ , $\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$

$\frac{\sqrt{-25}}{\sqrt{-5}} = \frac{5i}{\sqrt{5}i} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $-4$

(3) $1 + 4\sqrt{3}i$

(5) $\sqrt{5}$