$70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とする。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とする。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。分母と分子に $2+\sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

よって、

$70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 70(2+\sqrt{3}) = 140 + 70\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値は $1.732$ なので、

$70\sqrt{3} \approx 70 \times 1.732 = 121.24$

したがって、

$140 + 70\sqrt{3} \approx 140 + 121.24 = 261.24$

$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ より

$70 \times 1.7 = 119 < 70\sqrt{3} < 70 \times 1.8 = 126$

なので

$140 + 119 = 259 < 140 + 70\sqrt{3} < 140 + 126 = 266$

$1.73 < \sqrt{3} < 1.74$より

$70 \times 1.73 = 121.1 < 70\sqrt{3} < 70 \times 1.74 = 121.8$

$140 + 121.1 = 261.1 < 140 + 70\sqrt{3} < 140 + 121.8 = 261.8$

$a = 261$ となり、$b = (140 + 70\sqrt{3}) - 261 = 70\sqrt{3} - 121$

(2) $a+2b+b^2+1$ を求める。

$a+2b+b^2+1 = (a+b) + (b+1)^2 - 1 + 1 = (a+b) + (b+1)^2$

$a+b = 140 + 70\sqrt{3}$ なので、

$a+2b+b^2+1 = 140 + 70\sqrt{3} + (70\sqrt{3} - 121 + 1)^2 = 140 + 70\sqrt{3} + (70\sqrt{3} - 120)^2 = 140 + 70\sqrt{3} + (70\sqrt{3})^2 - 2 \times 70\sqrt{3} \times 120 + 120^2 = 140 + 70\sqrt{3} + 4900 \times 3 - 16800\sqrt{3} + 14400 = 140 + 70\sqrt{3} + 14700 - 16800\sqrt{3} + 14400 = 29240 - 16730\sqrt{3}$

ここで、

$70(2+\sqrt{3}) = a+b$より、$a = 261$, $b = 70\sqrt{3} - 121$.

したがって、

$a+2b+b^2+1 = 261+2(70\sqrt{3}-121)+(70\sqrt{3}-121)^2+1 = 261+140\sqrt{3}-242 + (4900 \times 3 - 2 \times 70\sqrt{3} \times 121 + 121^2) + 1 = 20 + 140\sqrt{3}+14700 - 16940\sqrt{3} + 14641 = 29361 - 16800\sqrt{3} = 29361 - 16800\sqrt{3}$

これはかなり複雑なので、計算間違いがありそうです。

$a+2b+b^2+1 = a + b^2+2b+1 = a + (b+1)^2$

$a = 261$

$b+1 = 70\sqrt{3}-120$

$(b+1)^2 = (70\sqrt{3}-120)^2 = (70\sqrt{3})^2 - 2 \times 70\sqrt{3} \times 120 + 120^2 = 4900 \times 3 - 16800\sqrt{3} + 14400 = 14700 - 16800\sqrt{3} + 14400 = 29100 - 16800\sqrt{3}$

$a + (b+1)^2 = 261 + 29100 - 16800\sqrt{3} = 29361 - 16800\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a=261$, $b=70\sqrt{3}-121$

(2) $a+2b+b^2+1 = 29361 - 16800\sqrt{3}$