問題は、$70*\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $a+2b+b^2+1$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は、$70*\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$3 < 2+\sqrt{3} < 4$ となります。

したがって、$2+\sqrt{3}$ の整数の部分は $3$ なので、$a=3$ です。

$2+\sqrt{3}$ の小数部分は $b = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3}-1$ です。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めます。$a=3$, $b=\sqrt{3}-1$ を代入します。

$a+2b+b^2+1 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1$

$= (3 - 2 + 4 + 1) + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3})$

$= 6$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\sqrt{3}-1$

(2) $a+2b+b^2+1=6$