$(a+b+c)^{10}$ の展開式における $a^5b^2c^3$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^{10}$ の展開式における $a^5b^2c^3$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。多項定理とは、$(x_1+x_2+\dots+x_m)^n$ の展開式における $x_1^{n_1}x_2^{n_2}\dots x_m^{n_m}$ の項の係数が

$$\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_m!}$$

で与えられるというものである。ここで、 $n_1+n_2+\dots+n_m = n$ である。

今回の問題では、$(a+b+c)^{10}$ の展開式における $a^5b^2c^3$ の項の係数を求めれば良いので、$n=10$, $n_1=5$, $n_2=2$, $n_3=3$ となる。

したがって、求める係数は

$$\frac{10!}{5!2!3!}$$

となる。

ここで、階乗の計算を行うと、

$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

となるので、

$$\frac{10!}{5!2!3!} = \frac{3628800}{120 \times 2 \times 6} = \frac{3628800}{1440} = 2520$$

となる。

3. 最終的な答え

2520