問題は、与えられた数 $70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求め、さらに $a+2b+b^2+1$ の値を求めるものです。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数 $70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求め、さらに $a+2b+b^2+1$ の値を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) $70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を計算します。

まず、分母を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

したがって、$70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 70(2+\sqrt{3}) = 140 + 70\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値を求めます。$1.732 < \sqrt{3} < 1.733$ であるから、

$70 \times 1.732 < 70\sqrt{3} < 70 \times 1.733$

$121.24 < 70\sqrt{3} < 121.31$

$140 + 121.24 < 140 + 70\sqrt{3} < 140 + 121.31$

$261.24 < 140 + 70\sqrt{3} < 261.31$

したがって、$140 + 70\sqrt{3}$ の整数の部分は $261$ です。

$a = 261$

小数の部分 $b$ は、$b = (140 + 70\sqrt{3}) - a = (140 + 70\sqrt{3}) - 261 = 70\sqrt{3} - 121$

$b = 70\sqrt{3} - 121$

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めます。

$a+2b+b^2+1 = (a+1) + 2b + b^2 = (a+1) + b(2+b)$

$a = 261, b = 70\sqrt{3} - 121$ を代入します。

$a+2b+b^2+1 = 261 + 2(70\sqrt{3} - 121) + (70\sqrt{3}-121)^2 + 1$

$= 262 + 140\sqrt{3} - 242 + (70\sqrt{3})^2 - 2(70\sqrt{3})(121) + (121)^2$

$= 20 + 140\sqrt{3} + 4900(3) - 16940\sqrt{3} + 14641$

$= 20 + 140\sqrt{3} + 14700 - 16940\sqrt{3} + 14641$

$= 29361 - 16800\sqrt{3}$

$a + 2b + b^2 + 1 = (a-261) + (2b) + (b^2+1) = 261 + 2(70\sqrt{3} - 121) + (70\sqrt{3}-121)^2 +1 = 262+ 140\sqrt{3}-242+ (4900\times 3 - 16940\sqrt{3} + 14641) = 20 + 140\sqrt{3} + 14700 -16940\sqrt{3}+14641 = 20+14700+14641+(140-16940)\sqrt{3}= 29361-16800\sqrt{3}$.

別解として、

$a+2b+b^2+1 = a + (b+1)^2$

$b+1 = 70\sqrt{3} - 120$

$(b+1)^2 = (70\sqrt{3} - 120)^2 = (70\sqrt{3})^2 - 2(70\sqrt{3})(120) + (120)^2 = 4900(3) - 16800\sqrt{3} + 14400 = 14700 - 16800\sqrt{3} + 14400 = 29100 - 16800\sqrt{3}$

$a + (b+1)^2 = 261 + 29100 - 16800\sqrt{3} = 29361 - 16800\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 261$, $b = 70\sqrt{3}-121$

(2) $a+2b+b^2+1 = 29361 - 16800\sqrt{3}$