$x = \sqrt{2} + 1$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x^2 - 2x$ (2) $x^3 - x^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} + 1$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x^2 - 2x$

(2) $x^3 - x^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x$ の場合：

$x = \sqrt{2} + 1$ を式に代入します。

$x^2 - 2x = (\sqrt{2} + 1)^2 - 2(\sqrt{2} + 1)$

$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$2(\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} + 2$

したがって、

$x^2 - 2x = (3 + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} + 2) = 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = 1$

(2) $x^3 - x^2$ の場合：

$x = \sqrt{2} + 1$ を式に代入します。

$x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$

まず、$x-1$ を求めます。

$x - 1 = (\sqrt{2} + 1) - 1 = \sqrt{2}$

次に、$x^2$を求めます。（(1)で計算済みですが、再度計算します。）

$x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = (3 + 2\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} + 4 = 4 + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 2x = 1$

(2) $x^3 - x^2 = 4 + 3\sqrt{2}$