$\sqrt{x^2+8x+16}$ を、与えられた条件 $x+4 \geq 0$ および $x+4 < 0$ のそれぞれの場合について、$x$の多項式で表す。

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2+8x+16}$ を、与えられた条件 $x+4 \geq 0$ および $x+4 < 0$ のそれぞれの場合について、$x$の多項式で表す。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解します。

$x^2+8x+16 = (x+4)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2+8x+16} = \sqrt{(x+4)^2} = |x+4|$

(1) $x+4 \geq 0$ の場合、絶対値記号はそのまま外れます。なぜならば、$x+4$ が非負であるため、$|x+4| = x+4$ が成り立つからです。

したがって、$\sqrt{x^2+8x+16}=x+4$

(2) $x+4 < 0$ の場合、絶対値記号を外す際に符号が変わります。なぜならば、$x+4$ が負であるため、$|x+4| = -(x+4)$ が成り立つからです。

したがって、$\sqrt{x^2+8x+16} = -(x+4) = -x-4$

3. 最終的な答え

(1) $x+4 \geq 0$ のとき、 $x+4$

(2) $x+4 < 0$ のとき、 $-x-4$