$\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a+b\sqrt{c}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ の形になるように変形します。

$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \sqrt{6-\sqrt{27}}$

ここで、$a+b = 6$、$ab = \frac{27}{4}$ となる $a,b$ を探します。

$a(6-a) = \frac{27}{4}$

$6a - a^2 = \frac{27}{4}$

$24a - 4a^2 = 27$

$4a^2 - 24a + 27 = 0$

$(2a - 3)(2a - 9) = 0$

$a = \frac{3}{2}, \frac{9}{2}$

$a = \frac{9}{2}, b = \frac{3}{2}$ とすると、

$\sqrt{6-\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

別解として、$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{12-2\sqrt{27}}$

ここで$a+b = 12$、$ab = 27$とすると、$a=9, b=3$となり、

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{9} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$