多項式 $x^3 + 4x^2 + 4x - 2$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x+3$、余りが $2x+1$ となる。このとき、$B$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + 4x^2 + 4x - 2$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x+3$、余りが $2x+1$ となる。このとき、$B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の基本の関係式は、

$$(割られる式) = (割る式) \times (商) + (余り)$$

である。この問題では、割られる式が $x^3 + 4x^2 + 4x - 2$、割る式が $B$、商が $x+3$、余りが $2x+1$ である。したがって、

$$x^3 + 4x^2 + 4x - 2 = B(x+3) + (2x+1)$$

$B$ を求めるために、この式を $B$ について解く。まず、$2x+1$ を左辺に移項する。

$$x^3 + 4x^2 + 4x - 2 - (2x+1) = B(x+3)$$

$$x^3 + 4x^2 + 2x - 3 = B(x+3)$$

次に、両辺を $x+3$ で割ることで $B$ が求まる。

$$B = \frac{x^3 + 4x^2 + 2x - 3}{x+3}$$

多項式の割り算を実行する。

```

x^2 + x - 1

x+3 | x^3 + 4x^2 + 2x - 3

x^3 + 3x^2

---------------

x^2 + 2x

x^2 + 3x

---------------

-x - 3

-x - 3

---------------

0

```

したがって、

$$B = x^2 + x - 1$$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + x - 1$