与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は以下の通りです。 $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は以下の通りです。

$\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、まず分母を $(3+\sqrt{3})$ と $\sqrt{6}$ の二項とみなし、$(3+\sqrt{3})-\sqrt{6}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}$

$=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{9 + 6\sqrt{3} + 3 - 6} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6+6\sqrt{3}}$

次に、$\frac{1}{6+6\sqrt{3}}$ を有理化するために、$\frac{6-6\sqrt{3}}{6-6\sqrt{3}}$ を掛けます。

$\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6+6\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1+\sqrt{3})} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$

$=\frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(1-3)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}-3+\sqrt{18}}{6(-2)}$

$=\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{-12} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$