与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理すること。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ の部分を展開する。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

次に、この結果に $abc$ を加える。

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式を因数分解することを考える。式を整理すると、次のようになる。

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 3abc$

ここで、式に $(a+b)(b+c)(c+a)$ をもう一度展開する。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc+ba+c^2+ca) = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc$

これに$abc$を加えたものが元の式なので

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$の形から $(a+b+c)(ab+bc+ca)$という形に変形できるか検討する。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

これは、元の式と一致する。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$