$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$を利用して、次の計算をせよ。 $\frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \frac{1}{12 \times 13} + \frac{1}{13 \times 14} + \frac{1}{14 \times 15}$

1. 問題の内容

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$を利用して、次の計算をせよ。

$\frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \frac{1}{12 \times 13} + \frac{1}{13 \times 14} + \frac{1}{14 \times 15}$

2. 解き方の手順

与えられた式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ を用いて、各項を分解します。

$\frac{1}{10 \times 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11}$

$\frac{1}{11 \times 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$

$\frac{1}{12 \times 13} = \frac{1}{12} - \frac{1}{13}$

$\frac{1}{13 \times 14} = \frac{1}{13} - \frac{1}{14}$

$\frac{1}{14 \times 15} = \frac{1}{14} - \frac{1}{15}$

これらの和を計算すると、途中の項が打ち消し合います。

$\frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \frac{1}{12 \times 13} + \frac{1}{13 \times 14} + \frac{1}{14 \times 15} = (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{12}) + (\frac{1}{12} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{14}) + (\frac{1}{14} - \frac{1}{15})$

$= \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{15}$

$= \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$

$= \frac{3}{30} - \frac{2}{30}$

$= \frac{1}{30}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{30}$