$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{2a+3c}{2b+3d} = \frac{a+c}{b+d}$ を証明する。

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{2a+3c}{2b+3d} = \frac{a+c}{b+d}$ を証明する。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおく。

すると、$a = bk$ および $c = dk$ と表せる。

まず、左辺を変形する。

$\frac{2a+3c}{2b+3d}$ に $a = bk$ および $c = dk$ を代入すると、

$\frac{2a+3c}{2b+3d} = \frac{2(bk) + 3(dk)}{2b+3d} = \frac{2bk + 3dk}{2b+3d} = \frac{k(2b+3d)}{2b+3d} = k$

次に、右辺を変形する。

$\frac{a+c}{b+d}$ に $a = bk$ および $c = dk$ を代入すると、

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k$

したがって、左辺と右辺はどちらも $k$ に等しいので、$\frac{2a+3c}{2b+3d} = \frac{a+c}{b+d}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{2a+3c}{2b+3d} = \frac{a+c}{b+d}$