与えられた式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (-14y+13)x + (15y^2 - 23y + 4)$

次に、定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

与式が $(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定します。

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (3c+a)xy + acy^2 + (3d+b)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると、

$ac = 15$

$3c + a = -14$

$3d + b = 13$

$ad + bc = -23$

$bd = 4$

$ac = 15$ より、$(a, c) = (3, 5), (5, 3), (-3, -5), (-5, -3)$ が考えられます。

$3c + a = -14$ より、$(a, c) = (1, -5.66), (2, -5), (3, -), (4, -), (5, -)$ などが考えられます。

$a = -5$ かつ $c = -3$ のとき、 $3c + a = -9 - 5 = -14$ となります。

また、$bd = 4$ より、$(b, d) = (1, 4), (4, 1), (2, 2), (-1, -4), (-4, -1), (-2, -2)$ が考えられます。

$3d + b = 13$ と $ad + bc = -23$ を満たすものを探します。

$3d + b = 13$ に $(b, d) = (4, 3)$ を代入すると、$3(3) + 4 = 13$ を満たします。

$ad + bc = (-5)(3) + (4)(-3) = -15 - 12 = -27 \neq -23$ なので、$(b,d) = (4,3)$ は不適。

$(b, d) = (1, 4)$ を代入すると、$3(4) + 1 = 13$ を満たします。

$ad + bc = (-5)(4) + (1)(-3) = -20 - 3 = -23$ となり、条件を満たします。

したがって、$(a, b, c, d) = (-5, 1, -3, 4)$

よって、与式は $(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$