与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解または整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解または整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

したがって、与えられた式は

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

となります。

次に、この式を因数分解します。この式は$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開した形に似ています。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

したがって、与えられた式は$(a+b)(b+c)(c+a)$と等しいことがわかります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$