与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x \sin x + 9 \cos x$ を微分します。

$\frac{d}{dx}(x \sin x + 9 \cos x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$

次に、被積分関数を部分分数分解のような形で変形することを考えます。

$f(x) = \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

ここで、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{(- \cos x + x \sin x + 9 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-x \cos x + 9 \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{(x \sin x + 8 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-x \cos x + 9 \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 \sin^2 x + 17 x \sin x \cos x + 72 \cos^2 x - (-x^2 \cos^2 x + 17x \sin x \cos x - 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 (\sin^2 x + \cos^2 x) + 72(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

したがって、求める積分は次のようになります。

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{d}{dx} \left( \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) dx = \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$